康德在他的哲学一开场就提出了“怎么可能有纯粹数学？”这一个又有趣而又困难的问题。各派哲学，只要不是纯粹怀疑主义的，就必然要对这个问题找出一个答案来。纯经验主义者的答案是：我们的数学知识是从一些特殊事例归纳得来的。我们已经知道这个答案是不适当的，理由有二：第一，归纳法原则本身的实效性，不是凭借归纳法所能证明的；第二，像2加2永远等于4这类数学上的普遍命题，显然是凭着考虑某个单独事例就可以肯定知道的，如要再到举一些其他表现这些命题为真的事例也没有用。因此，我们对于数学上（同样也适用于逻辑上）的普遍命题的知识，就必须用别的方法来加以说明，而不用“凡人皆有死”这类（只不过或然的）经验概括的知识来说明。

　　问题之所以发生，就是由于这类知识乃是普遍的，而一切经验都是特殊的。显然我们竟能够预先知道我们还没有经验过的一些特殊事物的真理，这似乎是很离奇的；但是，逻辑和数学之可以适用于这类事物，却不容轻易怀疑。我们不知道百年以后谁是伦敦的居民；但是我们却知道其中任何两个人加上另外两个人一共是四个人。这种明显可见的对于我们未曾经验过的事物加以预断的才能，确实使人感到惊奇。康德对于这个问题的答案虽然就我的意见看来是无效的，毕竟是有趣的。然而，这个答案很困难，而且各个哲学家对于它各有不同的了解。因此，我们只能把它最简单的纲要提了出来；既使如此，恐怕康德派的许多代表人物还会认为这会使人发生误解。

　　康德所持的见解是，我们所有的经验里有两个因素是必须加以区别的，一个是由于客体而来的（即由于我们所谓的物理客体而来的），另一个是由于我们自身的性质而来的。在讨论物质和感觉材料时我们就已经明了，物理客体和与其有关的感觉材料是不相同的，我们可以把感觉材料认作是物理客体和我们自身相互作用的结果。到此为止，我们和康德的见解是一致的。但是，康德的特点是他对于我们自身和物体的比例成份加以分别分配的方法。他认为感觉所提供的素材——颜色，软硬等——是由于客体而来的，而我们所提供的则是在空间和时间中的排列和感觉材料间的一切关系，这些关系或者由于类比而发生，或者由于把某一材料看成为另一材料的原因，或者由于别种方式而发生。他主张这种见解的主要理由是，我们对于时间、空间、因果关系和类比关系，似乎都具有先验的知识，但是对于感觉中的真正素材却不然。他说我们可以肯定，我们所将经验的每件事物都必然表明在我们的先验的知识里所已经肯定于它的那些特点，因为这些特点都是由我们自身的性质而来的，因此不获得这些特点，就没有什么东西能够进到我们的经验里来。

　　康德认为他称之为“物自体”的物质客体根本是不可知的；能够被知的是我们在经验中所遇到的客体（他称之为“现象”）。“现象”是我们和物自体的联合产物，它肯定具有那些源于我们自身的特点，因此它便一定符合于我们先验的知识。因此，这种知识虽然对于一切实际的和可能的经验都是适用的，但还是不可以假定它适用于外界的经验。这样，尽管有先验的知识存在，但我们还是不能对于物自体有所知，也还是不能对于经验中的一切非实际的或非可能的客体有所知。他想用这种方式来排解并调和理性主义者对于经验主义者的论战。

　　除了可用以批判康德哲学的那些次要根据之外，还有一个主要的反驳论点，对于以他的方法来处理先验的知识的问题，似乎是极其重要的。我们确信事实必然永远遵守逻辑和算术。但认为逻辑和算术是我们强加上去的，却并不能说明这一点。我们的本性正像任何事物一样，乃是现世中的一桩事实，所以没有把握说它是持久不变的。如果康德没有错，那便可能会发生这样的事，明天我们的本性将要大大地改变，以至于2加2会等于5.这种可能性他似乎不曾想到过，但是它却把他对于算术命题所迫切希望证明的那种确切性和普遍性完全摧毁了。固然，这种可能性和康德派的见解是不一致的，康德认为时间本身乃是主体所加诸于现象的一种形式，所以我们实在的自我是不在时间中的，也没有明天。但是，他还是不得不假定各种现象的时间次序乃是决定于种种现象背后那个东西的特点的，就我们论证的实质来说，这一点便已经足够了。

　　倘使我们的一些算术信念是具有真理的，那么不问我们思考它们或不思考它们，它们必然可以同样地应用到事物上，只要稍加思索，就可以明确这一点。两个物体加上另两个物体必然一共是四个物体，即使物体是不能经验的。我们这样断言，当然是因为它属于我们说2加2等于4时所意谓的范围之内。它的真理就和断言两种现象加上另两种现象等于四种现象一样是不容置疑的。因此，康德的答案就不恰当地限制了先验的命题的范围，此外，他想说明它们的确切可靠性的尝试也已经失败了。

　　且不谈康德所提出的特别学说；在哲学家们中间，现在有一种最流行的见解，即把一切先验的都认为在某种意义上是心灵的，这是因为与其说它和外界事实有关，毋宁说和我们所必须采用的思维方式有关。在前一章里，我们已经提到了通常称为“思维律”的三条原则。过去这样定名是很自然的。但是，现在却有确凿的理由说这个名称是错了。让我们举矛盾律为例。这条定律通常陈述的形式是“任何东西不能既是又不是”。它所表达的是这样一个事实：没有一件事物能够同时具有一种特定性质而又不具有这种性质。因此，譬如说，倘使有一棵树是山毛榉，那它就不可能又不是山毛榉；倘使我的桌子是长方形的，它就不可能同时又不是长方形的，如此等等。