② 《唐会要》卷六五。

　　为“徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也”①；在《九章算术》有关圆面积的问题答案下，添加“按密率”计算所得答案，结果使后来不少人误认为“约率”22/7 是祖冲之的“密率”；总的来说，李淳风等人对算经十书进行系统的整理和注释，这些算书又被采用为数学教材，从而使这些反映唐代以前中国古代数学发展情形的最重要的原始文献得以流传至今。

　　① 《九章算术》方田章圆田术李淳风等注。

　　第三节《缉古算经》与三次方程唐代立于学官的十部算经中，王孝通《缉古算经》是唯一的一部由唐代学者撰写的。王孝通主要活动于六世纪末和七世纪初。他出身于平民，少年时期便开始潜心钻研数学，隋朝时以历算入仕，入唐后被留用，唐朝初年做过算学博士（亦称算历博士），后升任通直郎、太史丞。毕生从事数学和天文工作。唐武德六年（623），因行用的傅仁均《戊寅元历》推算日月食与实际天象不合，与吏部郎中祖孝孙受命研究傅仁均历存在的问题，武德九年（626）又与大理卿崔善为奉诏校勘傅仁均历，驳正术错三十余处，并付太史施行。王孝通所著《缉古算术》，被用作国子监算学馆数学教材，奉为数学经典，故后人称为《缉古算经》。全书一卷（新、旧《唐书》称四卷，但由于一卷的题数与王孝通自述相符，因此可能在卷次分法上有所不同）共二十题。第一题为推求月球赤纬度数，属于天文历法方面的计算问题，第二题至十四题是修造观象台、修筑堤坝、开挖沟渠，以及建造仓廪和地窖等土木工程和水利工程的施工计算问题，第十五至二十题是勾股问题。这些问题反映了当时开凿运河、修筑长城和大规模城市建设等土木和水利工程施工计算的实际需要。

　　王孝通在《上缉古算经表》中说：“伏寻《九章》商功篇有平地役功受袤之术。至于上宽下狭，前高后卑，正经之内阙而不论。致使今代之人不达深理，就平正之间同欹邪之用。斯乃圆孔方枘，如何可安。臣昼思夜想，临书浩叹，恐一旦瞑目，将来莫睹。遂于平地之余，续狭邪之法，凡二十术，名曰《缉古》。”①这段话清楚地说明了他写作本书的目的和研究成果。《缉古算经》涉及到立体体积计算、勾股计算、建立和求解三次方程x3＋ax2＋bx＝A（a、b 和A，非负），建立和求解双二次方程x4＋ax2＝A（a、A，为正，这是一种特殊形式的四次方程）等数学内容。这类问题与解法大多相当复杂，就当时数学水平而言是相当困难的，因此，在国子监算学馆要学习三年，学习年限仅次于祖氏父子的《缀术》。例如该书第三题，假如从甲、乙、丙、丁四县征派民工修筑河堤，这段河堤的横截面是等腰梯形，已知两端上下底之差，两端高度差，一端上底与高度差，一端高度与堤长之差，且已知各县出工人数，每人每日平均取土量、隔山渡水取土距离、负重运输效率和筑堤土方量，以及完工时间等，求每人每日可完成的土方量，整段河堤的土方量（即河堤体积）和这段河堤的长度、两端高度、两端上下底宽度，以及各县完成的堤段长度等。前两个问题是比较简单的算术问题，后两个问题则要经过较复杂的推导和几何变换归结为建立和求解形如x3＋ax2＋bx＝A 的三次方程。在《缉古算经》第十五题至二十题等属于勾股算术的问题中，王孝通还创造性地把勾股问题引向三次方程，并与代数方法结合起来，扩大了勾股算术的范围，发展了勾股问题的解题方法。在中国数学史上，《缉古算经》是我国现存最早介绍开带从立方法的算书，它集中体现了中国数学家早在公元七世纪在建立和求解三次方程等方面所取得的重要成就。在西方，虽然很早就已知道三次方程，但最初解三次方程是利用圆锥曲线的图解法，一直到十三世纪意大利数学家菲波那契才有了三次方程的数值解法，这比王孝通晚了六百多年。王孝通对自己的研究成果十分得意。他在《上缉古算经表》中批① 王孝通：《上缉古算经表》，钱宝琮校点《算经十书》，中华书局1963 年版。评时人称之精妙的《缀术》，“曾不觉方邑进行之术全错不通，刍甍方亭之问于理未尽”，由于《缀术》已经失传，王孝通的说法是否正确，已无从查考，但想来恐有失偏颇。他还宣称，“请访能算之人考论得失，如有排其一字，臣欲谢以千金”，这又未免有些过于自信。以后，宋元数学家创立了天元术、四元术和高次方程数值解法等，取得了更加辉煌的成就。

　　第四节二次插值法二次插值法（又称二次内插法）的创立，是隋唐数学的又一项重大成就。插值法是根据两个自变量的已知函数值求这两个自变量之间各自变量对应函数值的近似计算方法。这种方法是很有实用价值的。例如，在天文观测中，人们不可能每时每刻都进行观测，因此只能得到日月五星某些时刻在天球上的位置。利用这些观测记录推算日月五星在其他时刻的位置，就要用到插值法，这对于天文计算特别是日月交食的推算是十分重要的。实际上在《周髀》和《九章》中就已有了一次插值（或称线性插值）公式。东汉末天文学家刘洪制订《乾象历》，为计算月球在近地点后n＋s 日的共行度数，采用了一次插值公式：f（n＋s）＝f（n）＋s△，其中n 为月球在近地点后运行的整日数，f（n）为对应的月球位置函数，0＜s＜1，△＝f（n＋1）－f（n）。此后，曹魏杨伟、姚秦姜岌、刘宋何承天、南齐祖冲之等各家历法计算月行度数时也都采用了这种算法。随着天文学的发展和观测精度的提高，天文学家不仅发现了月球视运动的不均匀性，而且也发现了太阳和五星视运动的不均匀性，也就是说，日月五星的视运动并非是时间的一次函数。为了编制更好的历法，特别是为了精确计算合朔和交食时刻，何承天、祖冲之以前所长期采用的一次插值法，误差太大，已经不能满足这种要求，于是中国天算家开始了新的探索。