孝满书成后的秦九韶不甘寂寞，又开始向往功名利禄。淳祐十年（1250），他往投吴潜幕。吴潜（1196—1262），号履斋，南宋重臣，主战派首领。秦九韶与吴潜很有交情，他在湖州的居家即从吴处得到的地皮。宝祐二年（1254），秦九韶到建康，任沿江制置司参议，但不久去职，回湖州家居。此后，他去扬州攀附当朝权臣贾似道。宝祐六年（1258）正月，贾似道荐秦九韶于广帅李曾伯，时逢琼州守阙，于是李曾伯便命其暂任琼州守，但三个月后被免职。刘克庄说秦九韶“到郡（琼州）仅百日许，郡人莫不厌其贪暴，作卒哭歌以快其去”。周密则说他“至郡数月，罢归，所携甚富”。离琼州回湖州后，秦九韶又投奔吴潜，得荐，开庆元年（1259）任司农寺丞，因不满贾似道专权，被罢。景定元年（1260），又任命为知临江军（今江西清江），再次遭罢。不久，吴潜罢相，被贬潮州。秦九韶受到株连，也贬梅州（今广东梅县）做地方官，他“力政不辍”。约在景定二年（1261），病卒于任所，年60 岁。

　　第二节对数学的贡献：《数书九章》秦九韶恶劣的个人品行，与杰出的数学才能是不相称的。因此有人因他的数学成就而为其个人品行辩护，如清代数学家焦循在《天元一释》卷下说：“秦九韶为周密所丑诋，至于不堪，而其书亦晦而复显。密以填词小说之才，实学非其所知。即所称与吴履斋交稔，为贾相窜于梅州，力政不辍，则秦之为人亦瑰奇有用之才也。”与此同时，也有人因他的恶劣人品而贬低其数学成就，如余嘉锡《南宋算学家秦九韶事迹考》中说他“虽能治天算，多技能，不过小人之才耳，何足道哉！”对秦九韶，也有较客观地评价：“有才有学的人未必有德，我们读《数书九章》，不能不表扬秦九韶在数学方面的贡献，但是论他的为人，也应符合当时的历史实际。”①《数书九章》，是秦九韶勤奋学习、苦心钻研和多年积累的数学成就的结晶，是堪与数学名著《九章算术》相媲美的。这部著作，南宋时称为《数学大略》或《数术大略》，明《永乐大典》和清《四库全书》皆题称《数学九章》。明季常熟赵氏脉望馆藏有另一抄本，万历时赵琦美为其撰写跋文始称《数书九章》。后来清道光时按赵抄本校刻的《宜稼堂丛书》本流传较广，遂成为现今的通称。该书共18 卷，81 题，分为9 类，每类9 题，主要内容是：一、大衍类：一次同余组的解法；二、天时类：历法推算、雨雪量的计算；三、田域类：土地面积；四、测望类：勾股、重差等测量问题；五、赋役类：田赋、户税；六、钱谷类：征购米粮及仓储容积；七、营建类：建筑工程；八、军旅类：兵营布置和军需供应；九、市易类：商品交易和利息计算。

　　每题答案之后都有“术”说明解题方法，“术”后有“草”说明演算步骤，① 钱宝琮：《秦九韶〈数书九章〉研究》，载钱宝琮等著《宋元数学史论文集》，科学出版社1966 年版，第62 页。

　　有的题目还画有图。《数书九章》中的两项最重要的成就是正负开方术（高次方程数值解法）和大衍求一术（一次同余组解法）。

　　在数学发展史上，古典代数学的中心课题是方程论。中国古代的方程论，不论是现代意义下的开方，还是解一般的高于二次的一元方程都被称为开方。从《周髀算经》、《九章算术》，到5 世纪的祖冲之和7 世纪的王孝通，已经解决了开平方、开立方，以及二次三项方程和正系数三次方程求正根问题。11 世纪，贾宪又创造了一种新的开方法——增乘开方法，通过随乘随加导出减根方程，逐步求出正系数高次方程的正根。12 世纪，数学家刘益提出“正负开方术”，并突破了方程系数全都为正的限制。但刘益的方法并不是增乘开方法。秦九韶在前人工作的基础上，把以增乘开方法为主体的高次方程数值解法发展到十分完备的程度。他的方程系数可正可负，可为分数，也可为小数，在有理数范围内没有限制，但规定常数项总为负。亦即解决了形如下列的数字方程求解问题：a0xn+a1xn-1+a2xn-2+.+an-1x+an=0其中a0≠0， an＜ 0， ai∈Q（i= 0，1，.，n）。《数书九章》81 个问题中，用方程来解的有21 个，共列出了26 个方程，其中二次方程20 个，三次1 个，四次4 个，十次1 个，其解法大都有详草。从其随乘随加的具体运算过程可以看出，秦九韶提出的高次方程数值解法可以毫不困难地转化为计算机程序。秦九韶还讨论了“投胎”、“换骨”、“玲珑”、“同体连枝”等特殊情形，并将其广泛应用于面积、体积、测量等方面的实际问题。

　　在西方，关于高次方程数值解法的探讨，经历了漫长的历史过程，直到1840 年，意大利数学家鲁菲尼（P.Ruffini，1765—1822）才创立了一种逐次近似法解决数字高次方程无理根的近似值问题，而1819 年英国数学家霍纳（W.G.Horner，1786—1837）在英国皇家学会发表的论文“用连续逼近法解任何次数字方程的新方法”中，才提出与增乘开方法演算步骤相同的算法，后被称为“霍纳法”。秦九韶的成就要比鲁菲尼和霍纳早五六百年。

　　秦九韶对于一次同余组解法的理论概括，是他在数学史上的另一项杰出贡献。一次同余式问题的解法是适应天文学家推算上元积年的需要而产生的。中国古代天文学家假设在远古时代有一年的冬至、甲子日零时和日月合朔在同一时刻。该时刻即称为上元，从上元到本年经过的年数称为上元积年。在既知本年的冬至时刻和十一月平朔时刻的条件下推算这一年的上元积年是一个一次同余问题。设A 为回归年（从冬至到冬至）日数，R1 为本年冬至距其前一个甲子日零时的日数，B 为一朔望月（从平朔到平朔）的日数，R2 为冬至距前一个平朔的日数，则上元积年x 满足下列一次同余组Ax=R1（mod 60）≡R2（mod B）。