关于球的体积公式及其证明祖冲之的另一项重要数学成就是关于球的体积公式及其证明。各种几何体的体积计算是古代几何学中的基本内容。《九章算术》商功章已经正确地解决了棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等各种几何体的体积计算问题。但球体积的计算比较复杂，《九章算术》中的球体积公式相当于＝ V d9163（d 为球的直径），是一个误差很大的近似公式。东汉科学家张衡曾经研究了这个问题，他试图通过先求出球与外切正方体的体积之比然后再来计算球体积，但没有得到正确的结果。魏晋时的刘徽则将球体积问题的研究推进了一大步。他指出，《九章算术》少广章所说球与其外切圆柱的体积之比为π∶4，这一结论是错误的，并且说明球与外切于球的“牟合方盖”的体积之比才是π∶4（两个底半径相同的圆柱垂直相交，其公共部分称为“牟合方盖”，好像两把扣在一起且上下对称的正方形的伞）。因此，只要求出牟合方盖体积，就可推算出球体积。然而，刘徽始终未能求出牟合方盖体积，所以也未能解决球体积问题。他在《九章算术》少广章开立圆术的注释中说，“欲陋形措意，惧失正理，敢不阙疑，以俟能言者”，实事求是的提出问题，留待后人去解决，表现了一位杰出科学家的虚心和慎重的科学态度。以后又经过近200 年，祖冲之及其子祖暅才对于这一问题取得了突破。祖冲之父子通过对牟合方盖水平截面面积的分析，判定它的体积等于正方体与两个正方锥的体积之差，从而推算出牟合方盖的体积等于2 3d 3（ 为球的直径长度），并进一步得到正确的球体积公式＝ π ， d V d 3 16完全解决了球体积的计算问题。由于当时用圆周率，所以他们的球体227积公式为＝ 。祖氏父子在推导球体积公式过程中，还明确地提出了V11213 d一个重要原理：“幂势不同，则积不容异”①，即二立体如果在等高处截面的面积相等，则它们的体积也必定相等。这个原理现常被称为“祖氏公理”。在西方，这个原理也是一千年后才由17 世纪意大利数学家卡瓦列里（F.B.Cavalieri，1598—1647）提出来的，并被称为“卡瓦列里公理”。这个原理很重要，它是后来创立微积分学的不可缺少的一步。

　　《隋书·律历志》在叙述祖冲之圆周率之后说他，“又设开差幂，开差立，兼以正负参之，指要精密，算氏之最者也”①。据考证，这可能是指开带从平方和开带从立方法，即解一般形式的二次方程和三次方程，其中各项系数可正可负，在当时中国乃至世界上，要解决这类问题都是比较困难的。但因祖冲之的解法早已失传，现已无法了解其具体内容。祖冲之及其子祖暅的数学成就总结在《缀术》一书中。唐显庆元年（656）国子监添设算学馆，规定《缀术》为必读的“十部算经”之一，学习期限为四年，是数学书中学习时间最长的一种。《缀术》还曾传入朝鲜和日本，被选作数学教育的教材。可惜的是祖冲之的这部数学专著早已失传，其具体内容已无法详知了。

　　对天文历法的研究祖冲之对天文历法的研究早在青少年时代就已经开始了。经过多年的实际观测和反复推算，他发现当时行用的何承天《元嘉历》已经与实际天象不合。例如按《元嘉历》算出的冬至时太阳所在位置与实测结果已差3 度，冬① 《九章算术》少广章开立圆术李淳风注。

　　① “负”字原著为“员”，此据钱宝琮主编《中国数学史》校改。

　　至和夏至时刻已差1 天，五星出没时间差40 天，等等。这种情况显然是必须加以改变的。因此，他着手编制了一部新的历法，即后世所称的《大明历》。祖冲之在天文历法方面的成就，大都包含在《大明历》和为《大明历》所写的“驳议”之中。按祖冲之的自述，《大明历》“改易之意有二，设法之情有三”。所谓“改易”是指在历法计算中引进岁差和对闰周的改革，这是中国历法史上的重大进步，对后世产生了深远的影响。所谓“设法”是指推算上元积年时增加了一些条件，如甲子年，十一月初一为甲子日，日月合璧，五星联珠等，这在数学上对于同余式解法的研究有所推动，但对于历法的发展并没有太大的意义。

　　祖冲之《大明历》的重要贡献是在历法计算中首先考虑了岁差的影响。

　　冬至时刻太阳在黄道上的位置叫做冬至点。中国古代的天文学家最初认为，太阳在黄道上运行，从冬至点开始经过一个回归年又回到原来的冬至点，也就是说，冬至点是固定不变的。实际上，冬至点在恒星间的位置并不是固定不变的，它在星空中有极缓慢的移动，每年的移动值就叫做岁差。早在战国时期，中国天文学家把冬至点确定在牵牛初度，如当时行用的一种历法《颛顼历》，其冬至点距牛宿距星的赤道宿度不到1 度。西汉末年刘歆发现当时的冬至点已经不在牵牛初度，而是在牛宿以西靠近斗宿的建六星附近。东汉天文学家贾逵、编、李梵、刘洪等，通过实际观测和推算，进一步肯定了冬至点位置的变化，并指出当时的冬至点既不在牵牛初度，也不在建星附近，而是在斗21 度。但他们并没有深究其中的规律，也没有认识到这一变化对于历法计算的影响。魏晋以后，天文观测日趋精密，对岁差现象的探讨也有所前进，其中最突出的就是东晋天文学家虞喜。虞喜认识到经过一个回归年之后，太阳并未在天上走一周天而回到原处，而是“每岁渐差”，明确指出了岁差现象，并提出“天自为天，岁自为岁”的新观点。他还给出了50 年差1度的岁差值。其后何承天又给出了100 年差1 度的岁差值。但虞喜和何承天还都没有在历法中考虑到岁差。祖冲之不仅肯定了岁差现象的存在，指出“冬至所在，岁岁微差”，而且最早把岁差作为一个重要因素应用到历法计算中去，这对于提高所编制的历法的精度，是有重要作用的，并为后世历家所遵循。据《隋书·律历志》记载，祖冲之经实测确定当时冬至点已移到斗15度，经与后秦姜岌的观测值比较，发现不到百年冬至点已移动了2 度，因而定岁差为45 年11 月差1 度，并用于历法计算。根据现代观测，冬至点大约每年沿黄道西移50.2 秒，换算成赤经则为大约78 年西移1°，由此可知，虞喜、何承天与祖冲之的岁差值与实际值相比，还有较大的误差。尽管如此，岁差现象的发现，将太阳在黄道上运行一周的恒星年与反映四季变化周期的回归年这两个概念区别开来，并将岁差应用到编制历法中去，仍是中国历法史上具有划时代意义的重大进步。