① 见杨辉《乘除通变本末》中的《乘除通变算宝》。

　　用来说明算法。这种便于记忆和掌握的形式，后来更加简明和完善。它反映了筹算算法的发展，也促进了珠算的产生，而它本身也逐渐演变成后人熟知的珠算口诀。

　　在唐宋时期还有一部《谢察微算经》。《新唐书·艺文志》载《谢察微算经》3 卷，《宋史·艺文志》作谢察微《发蒙算经》3 卷，对这部算经的年代现在还难以确定。有些学者认为这是五代时的作品，并据此书残存部分“用字例义”中提到与算盘有关的用语，如中、算盘之“中”、脊、进、退、上、下等，推断五代时已经有了珠算②。但是，这部分内容是否为《谢察微算经》原有的内容尚有疑义，并且现在还没有掌握元代之前已有珠算的任何一条可靠记载，所以对这类问题尚有待进一步的考证与研究。

　　除上述各项数学成就外，在诸如四舍五入法，小数记法，联立方程组解法，已知三角形三边求面积的公式，棋局总数计算，运筹思想与实践等方面，两宋时期的数学家们也都作出了相当出色的贡献。

　　第八节数学教育两宋时期官府对数学教育事业曾给予了一定的重视，但几起几落，争议不休。北宋初期算学曾与文、武两学并列，设有算学博士，但一直未开办正式的学馆。宋神宗元丰七年（1084）诏令通算学者可于吏部就试，合格者授予地位很低的官职，并令秘书省刊刻算经十书，以备学习之用。宋哲宗元祐元年（1086），曾派人选址，准备建造算书馆，但是由于找不到合适的教员，并且有人反对说，将来“建学之后，养士设科，徒有烦费，实于国事无补”，于是作罢。直到宋徽宗崇宁三年（1104），国子监始立算学，设博士4 人和其他职员8 人，计划招收260 名学生。学习教材是《九章》、《周髀》、《海岛》、《孙子》、《五曹》、《张丘建》、《夏侯阳》等。考试分上、内、外三舍（三级），上舍合格者可授予通仕郎、登仕郎、将仕郎等初级官阶。崇宁五年（1106）初，算学被撤销，而在同年底却又得到恢复。大观三年（1107）还搞了一次封祀历代数学家和天文学家的礼仪活动，如封张衡为西鄂伯，祖冲之为范阳子，刘徽为淄乡男等，并打算绘像从祀，但也由于有人反对而未正式进行。大观四年（1108），又撤销算学，算学生并入太史局。政和三年（1113）复置算学，仍用算学馆旧址，并令地方上仿照执行，其教育制度与元丰、崇宁时相同。宣和二年（1120）再次撤销了算学馆及有关的官职。由上所述可以看出，北宋时算学馆的兴废交替比较频繁，这种情况当然对数学发展是不利的。到了南宋时期，官办数学教育事业就更趋衰微了。但另一方面，官办数学教育毕竟培养了一批通晓数学的人才，并对民间数学传习产生了一定的鼓励和示范作用，这还是应该肯定的。

　　在数学教材方面，北宋元丰七年（1084）刻印算书时，唐代十部算经中的《缀术》已经失传，因而只刻印了九部，并且据考证，其中《夏侯阳算经》并非原著，而是唐代中期的《韩延算术》，这部书由于卷上第一章引用了夏侯阳的一句话而被误认为《夏侯阳算经》。元丰年间所刻《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、② 李迪、冯立升：《〈谢察微算经〉试探》，见李迪主编《数学史研究文集》第三辑，内蒙古大学出版社1992 年版。

　　《张丘建算经》、《五经算术》和《缉古算经》这九部算经是最早的官刻本数学书籍，可惜在清初就已全部亡佚。南宋绍兴九年（1139）刻书兴学，但未刻印算书。一直到南宋嘉定六年（1213），鲍澣之在福建汀州学校主持翻刻北宋本九部算经时，又补入《数术记遗》1 卷。到了清初，南宋所刻算书也仅存《周髀》、《孙子》、《张丘建》、《五曹》、《缉古》、《夏侯阳》和《九章》7 种孤本，其中《九章算术》仅存5 卷。这些书幸得传留至今。宋刻本十部算书基本上是以李淳风等注释本为基础的，并且其绝大部分内容通过各种途径流传下来，为我们保存了宝贵的数学史料，这就是我们现在可以见到的《算经十书》。

　　从隋唐到宋元，官府兴办的数学教育事业日趋衰落，而民间数学教育却有所发展。在敦煌千佛洞发现的算书和算表，记载了算筹记数、乘法口诀、四则运算、面积、体积等实用算术方法。这些著作大多是唐末宋初的作品，从中可以反映当时民间数学教育的一些内容，并表明当时所用教材并非都是官府统一刊布的算经。到了宋元时期，民间数学教育更为流行，如李冶曾在河北元氏与获鹿两县交界处的封龙山隐居讲学，并进行数学研究。在元代数学家和天文学家郭守敬少年求学时的河北磁县紫金山，形成了一个以刘秉忠、张守谦、张易等为中心的成就卓著的学派，数学也是这个学派教学与研讨的领域之一。元代数学家朱世杰更是“以数学名家周游湖海二十余年”，“四方之来学者日众”。他的《算学启蒙》是一部很好的数学入门书，其中还包括“天元术”等当时数学的最新成果。特别是南宋之后刻印的数学著作中，出现了歌谣形式的数学问题和算法口诀，更能说明数学的传授已经走出官学的大门，逐渐深入到了民间。此外，还应提到的是杨辉在《乘除通变本末》中给出了一个“习算纲目”，这是学习一般民用和商用数学的一份切合实际的教学大纲，其中提倡循序渐进与熟读精思，注重培养和提高计算能力等。这个“习算纲目”是我国数学教育史上的一篇重要文献。