第二节增乘开方法贾宪的又一重要数学成就是根据开方作法本源图的构造原理创造了增乘开方法。用这种方法开平方和开立方要比《九章算术》少广章的方法简便得多，并且其运算原则可以推广到求任何高次幂和高次方程正实根的近似值。贾宪用此法解决了求x2＝A，x4＝A 等的近似值问题。在宋代有不少数学家对解方程问题进行研究。如据杨辉《田亩比类乘除捷法》所载，刘益在《议古根源》（全书已佚，杨辉书收有其二十多个算题）中提出了“正负开方术”，所论方程系数可正可负，取消了以前对方程系数只允许为正整数的限制，并讨论了x2-ax＝A 和-x2＋ax＝A（a＞0，A＞0）的数值解法，把方程论（包括增乘开方法）推进了重要的一步。但是总的说来这些工作属于初创，还不够完整和系统。

　　南宋数学家秦九韶创造性地继承和发展了前人的先进成就，提出了一套完整的正负开方术程序，成功地将增乘开方法运用于求一般高次方程：a0xn＋a1xn-1＋a2xn-2＋.an-1x＋an＝0（an＜O，a0≠0）

　　的数值解。他在《数书九章》中列举了二十多个解方程问题，次数最高达十次；除一般方法外，还讨论了“投胎”、“换骨”、“玲珑”、“同体连枝”① 见中华书局影印本《永乐大典》卷16344 所收杨辉《详解（九章）算法》。等特殊情形；并将其方法广泛应用于面积、体积、测量等方面的实际问题，从而在高次方程数值解法问题上，达到了当时世界数学的最高水平。

　　增乘开方法的特点是在演算过程中自下而上随乘随加，求出各项系数，进行方程变换，逐步求出方程正根的各位数字，其演算程序具有很强的机械性，可以毫无困难地转化为计算机程序。在西方，关于高次方程数值解法的探讨，经历了漫长的历史过程，直到1804 年，意大利数学家鲁非尼（P.Ruffini）才创立了一种逐次近似法用以解决数字高次方程解的近似值问题，并为此获得了意大利科学协会颁发的金质奖章，而在1819 年英国数学家霍纳（W.G.Horner）才提出与增乘开方法演算步骤基本一致的算法，后被称为“霍纳法”。但是，他们已经比秦九韶晚了五百多年，并且其原始方法也没有秦九韶法简捷明确。在现代一些计算数学著作中已将这种高次方程数值解法改称“秦九韶法”。

　　第三节大衍求一术大衍求一术是中国古代数学家用于解决一次同余组问题的方法。这类问题与历法中关于“上元积年”的推算有着密切的关系。在中国古代，天文学家们假定远古时有一年的十一月初一甲子日夜半又恰好是合朔和那一年的冬至，并把这一时刻定为历法计算的起点，称为“历元”。从该年到编历年所经过的总年数，就叫做“上元积年”。已知编历年实测冬至时刻和十一月初一合朔时刻推算上元积年，就是求解一次同余组问题。西汉历法中已有上元积年的数据，但没有算法的记载。由于当时问题比较简单，所以其算法也不会太难。南北朝时期《孙子算经》中的“物不知数问题”（亦称“孙子问题”），是最早见于中国数学文献的一次同余组问题，但其解法很不完备。随着天文历法的发展，天文学家对历元又提出了“日月合璧，五星联珠”等要求，于是推算上元积年的条件更为复杂，求解有关同余组也就需要更高的技巧。显然，从两汉到宋朝的千余年中，一定会有很多天文学家和数学家曾研究并很熟悉一次同余组的解法，但可惜的是在有关文献中除一些数据外却没有更多的记载。南宋数学家秦九韶系统地总结和发展了前人的贡献，在《数书九章》中创立“大衍求一术”，提出关于一次同余组问题的相当完整的理论和算法，并且推广其应用范围，取得了举世公认的杰出成就。他所著的《数书九章》，曾称《数学大略》、《数学九章》，全书18 卷，分9 类，每类9 题共81 个应用问题，其内容涉及天文历法、土地面积、勾股测量、建筑工程、田赋户税、商业贸易、货币金融、军事活动等丰富内容，是一部可与《九章算术》相媲美的数学名著。

　　《数书九章》所载大衍求一术的大意是，设要求解一次同余组：x≡ri（modmi）（其中i＝1，2，3，.，n）

　　秦九韶把求最小正整数x 的问题归结为求出一组数ki，使之满足条件：kiMmi≡1（modmi），（i＝1，2，3.，n）

　　其中M＝m1·m2·.·mn，ki 称为“乘率”。于是，一次同余组的最小正整数解x=（r1k1Mm1＋r2k2Mm2＋.＋rnknMmn）—pM（p 为非负整数）

　　这就是现在数论中著名的“孙子定理”。秦九韶详细论述了用辗转相除推算ki 的方法，由于运算的最后一步要出现余数1，因而称为“求一术”。他又进一步将其与《易经·系辞》中的“大衍之数”附会起来，而称之为“大衍求一术”（现在一般通指一次同余组解法）。此外，他还分别讨论了模数m1、m2、.、mn 两两互素和不互素的情形，并给出了相应的变换方法。在欧洲，直到18、19 世纪，著名数学家欧拉（L.Euler，1743）和高斯（C.F.Gauss，1801）等才对一般同余组解法进行了深入研究，获得与秦九韶相同的结果，并且对模数两两互素的情形给出了严格的证明。这已经是秦九韶以后500 年的事情了。在数学史上，上述定理过去称为“中国剩余定理”，现多改称“孙子剩余定理”或“孙子定理”。