第四节垛积术在中国古代，对于一般等差数列和等比数列，很早就有了初步的研究成果，如《九章算术》、《张丘建算经》等都提出了一些有关等差级数求公差及求和的公式。北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中又首创“隙积术”，开始研究某种物品（如酒坛、圆球、棋子等）按一定方式堆积起来求其总数问题，即高阶等差级数的求和方法。设一个长方台垛的上广（顶层宽）为a（个物体），长为b，下广（底层宽）为c，长为d，高共有n 层，则沈括的结果相当于得到长方台形垛积物体总数：S＝ab+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+.+[a+(n-1)][b+(n-1)]＝n6[(2b+d)a+(2d+b)c]+n 6(c-a).关于这个结果，沈括仅说：“予思而得之”①，但他没有详细说明是用什么方法求得这一正确的长方台垛公式的。南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，丰富和发展了沈括的成果，提出了诸如S nnn nsn nn n n= + + + + = + += + + + + ++= + +1 2 361 2 11 3 6 10121 61 22 2 2 2 LL( )( ),( )( )( )之类的菓子垛和三角垛求和公式。沈括、杨辉等讨论的级数与一般等差级数不同，它们前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差相等。对这类高阶等差级数的研究，沈括称为“隙积术”，杨辉之后则一般称为“垛积术”，后来成为一项重要的研究课题，吸引不少数学家从事这方面的工作。如元代数学家朱世杰就得到了一系列更复杂的高阶等差级数求和公式，并把垛积术与招差术（高次内插法）联系起来，对后世产生了很大影响。清代数学家顾观光指出：“堆垛之术详于杨氏、朱氏二书，而创始之功，断推沈氏。”① 《梦溪笔谈》卷18。

　　②第五节会圆术沈括在数学上的又一重要贡献是创立“会圆术”③，给出了中国数学史上最早的由弦和矢的长度来求弧长的近似公式。如图3，设圆的直径为d，BE弦长为c，DK 矢长为v，BDE 弧长为s，则沈括的结果相当于得到了公式S≈c＋2 2 vd.这是一个近似公式，但在一定范围内使用还是比较简便的。他同时还得出一个由矢长和半径求弦长的公式。虽然沈括并没有说明他的证明方法，但这两个公式很容易从《九章算术》弧田术及勾股定理推导出来。会圆术的重要意义还在于它在中国数学史上最早提出了关于弧、弦、矢之间的关系问题，此后一些数学家继续对这一新课题进行研究并取得了不少新成果。如元代郭守敬、王恂等人在《授时历》中反复应用沈括的会圆术，并根据相似三角形各线段间的比例关系，在推算“赤道积度”（太阳赤经余弧）和“赤道内外度”（太阳赤纬）方面创立了一种新的方法。就数学意义而言，这种新算法相当于球面三角学中求解球面直角三角形的方法。

　　第六节纵横图纵横图，亦称幻方，是把从1 到n2 的自然数排列成纵横各有n 个数，并且使同行、同列及同一对角线上n 个数的和都相等的一种方阵。纵横图是中国古代数学中由来已久的比较特殊的内容之一。《数术记遗》载有“九宫算”，甄鸾注称：“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”这实际上是一个三行纵横图，各行、各列及两条对角线上的数字之和都等于15。“九宫图”，后世通称“洛书”，其起源当早于汉代，同时它也是世界上现在已知最早的纵横图。南宋杨辉在《续古摘奇算法》中列出了n＝3，4，5，.，10 行的各种纵横图，如十行纵横图称为“百子图”等，并对一些纵横图的构造方法进行了研究。如洛书数的构造方法是“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”等。此外，他还记录了聚五图、聚六图、聚八图、攒九图、八阵图、连环图等圆形或环形的新型数字组合图，这些都可说是纵横图的进一步演变和发展①。丁易东《大衍索隐》也收有与杨辉攒九图和连环图相似的图。明清时期一些数学家如程大位、王文素、方中通、张潮、保其寿等对纵横图进行深入研究，取得了更加丰富多彩的结果。过去，② 顾观光：《九数存古》卷5。

　　③ 《梦溪笔谈》卷18。

　　① 参见李俨：《中算家的纵横图研究》，见李俨《中算史论丛》第一集，科学出版社1955 年版。纵横图大多是作为开动脑筋启发智力的一种数学游戏，而现在则已成为组合数学的重要内容，在程序设计、图论、组合分析等方面得到了广泛的应用。第七节筹算算法的发展中国古代数学在筹算的基础上取得了极其辉煌的成就。但是，作为主要计算工具的算筹，也还存在不少缺点，特别是使用不便，演算速度和效率不可能很高。例如筹算乘除法，要把算筹摆成上中下三层，演算时要不断拿上拿下，一根根移动，相当麻烦。所以，当时天文学家和数学家乃至财会人员作比较复杂的计算，有时要把算筹摆满一桌子，即所谓“置筹盈案”。可想而知，用四五寸长，二三分宽的小竹棍摆一个十几位的数字，所占的地方就已很可观了。随着农业、手工业和商业的发展，日益需要进行大量繁杂的计算，并且要求算得快和算得准，因此原有计算方法甚至计算工具都越来越不能适应实际需要，改进算筹和筹算的迫切要求迅速提到日程上来。对筹算方法的研究和改进，首先是从简化乘除运算开始的。早在8 世纪的中唐时期，以《夏侯阳算经》名义流传至今的《韩延算书》，就记载了把多位数乘除通过身外添减等转变成乘以或除以单位数的方法。北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中提到了求一、上驱、搭因、重因、增成之类筹算的简捷算法并且指出：算术“见简即用，见繁即变，不胶一法”①，概括地说明了当时这样一种趋势。南宋数学家杨辉对筹算算法的发展有突出的贡献。杨辉，字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，生平不详，曾在浙江做过地方官员，撰有《详解九章算法》附《九章算法纂类》共12 卷（1261），《日用算法》2 卷（1262），《乘除通变本末》3 卷（1274），《田亩比类乘除捷法》2 卷（1275），《续古摘奇算法》2 卷（1275），后三种一般合称《杨辉算法》。在杨辉的著作中，系统地叙述了以加代乘和以减代除的各种方法，其中“加法代乘”有五法，“减法代除”有四法，如加一位、加二位、重加、隔位加、连身加、减一位、减二位、重减、隔位减等。他还介绍了唐宋相传的求一代乘除法并编成易于上口的歌诀。如求一乘法歌诀是“五六七八九，倍之数不走。二三当折半，遇四两折纽。倍折本从法，实即反其有..”①用这种方法把乘数的首位变成1，然后再用加一位、加二位等方法来计算。对于除法，也有求一歌用来简化运算。但通过求一除法歌诀以减法代除进行除法运算实际上并不简捷，所以后来被归除歌诀所代替。杨辉《乘除通变算宝》中还载有九归歌诀、化零歌以及除数是两位数的飞归歌诀等。如九归古诀是：“归数求成十，归除自上加。半而为五计，定位退无差。”杨辉在这四句古诀的基础上，又添注了三十二句新口诀，使之更加明确。像杨辉算书里记载的歌诀形式，在13、14世纪宋、元、明三代是很流行的。当时不仅用这种诗歌形式提出问题，而且① 《梦溪笔谈》卷18。