珠算是在我国筹算基础上发展起来的，它的计算方法吸取了筹算方法，尤其是筹算口诀的产生和改进，对于从筹算向珠算的演变起了十分重要的作用。至于珠算究竟是什么时候产生，又是什么人创造的，根据现有史料还不能作出确切的回答。南北朝时期的《数术记遗》中记载了多种记数方法，其中的“珠算”并非后世的珠算，但是否对珠算的产生有所影响，则还须作更深入的研究。有人认为北宋张择端《清明上河图》里画有一个算盘，但是原图并不很清楚，难以确认是否为珠算盘。元中叶之后的一些文学和戏剧作品中已经提到珠算。元末陶宗仪《辍耕录》记载一条俗谚：“凡纳婢仆，初来时，曰雷盘珠，言不拨自动。稍久，日算盘珠，言拨之则动。既久，曰佛顶珠，言终日凝言，虽拨亦不动。”①明初刊刻的一本看图识字书《对相四言杂字》有算盘图，共十档，上二珠下五珠。这是目前发现最早的算盘图。书中① 陶宗仪：《辍耕录》卷二九。

　　所绘人物服饰为元代式样，由此可知该书原刊于元代。另一方面，南宋和元初的著名数学家秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰等又都没有提起过珠算。因此，珠算大约产生于元中叶以前不太久的时间。总的说来，正像我们不能确切说明筹算是什么时候产生又是什么人创造的一样，这种情况恰恰说明珠算和筹算都不是哪一个个人创造发明的，而是社会经济发展的产物，是广大劳动人民在长期的生产活动和日常生活中，根据实际需要创造出来并逐渐加以改进和完善的。珠算盘和珠算术的发明，是我国古代劳动人民作出的一项意义重大、影响深远的突出贡献。

　　第七节中国与伊斯兰国家的数学交流中国和伊斯兰国家的接触，很早的时候就已开始，在宋元时期有了更进一步的发展。在数学方面，见于记载最早对于欧几里得《几何原本》有所研究的人是成吉思汗之孙蒙哥。《多桑蒙古史》称：“成吉思汗系诸王以蒙哥皇帝较有学识，彼知解说Euclid 之若干图式。”①蒙哥是通过《几何原本》的阿拉伯文译本而了解古希腊数学的。1271 年，元世祖忽必烈下令在上都设立回回司天台，由著名天文学家波斯人札马鲁丁领导。回回司天台的主要任务是编制回历，供我国信仰伊斯兰教的民族使用。明朝钦天监中仍设有回回科，直到清康熙时才撤销，专门编制回历的机构前后共设置四百余年。在这一时期，伊斯兰国家的天文数学知识陆续传入我国。据元朝王士点、商企翁著《秘书监志》记载，当时回回司天台曾收藏有多种阿拉伯文数学书籍，如：兀忽列的四擘算法段数十五部，罕里速窟允解算法段目三部，撤唯那罕答昔牙诸般算法段目并仪式十七部，呵些必牙诸般算法八部等。有些学者认为“兀忽列的”就是Euclid 的音译，因此欧几里得《几何原本》15 卷已在元代传入我国②。后三种著作中，“罕答昔牙”意为几何学，“呵些必牙”意为算法，但究竟具体是哪些数学著作还有待于进一步的考证。元朝时，阿拉伯数码也曾传入我国。1956 年，在西安市郊元朝安西王府旧址发掘出五块铁板，上面都刻画有用东阿拉伯数码表示的六行纵横图（亦称幻方，同行、同列及同一对角线上的数字之和均为111，见下图）。这类铁板可能是王府人员作为驱魔避邪用的器物。1980 年上海浦东陆家嘴又出土一枚可佩戴的玉挂，上面刻有四行纵横图，所用数字亦为东阿拉伯数码③。但是，这种阿拉伯数码并没有被当时的人们所广泛使用，至于其纵横图的来源则尚无人研究。在明西安出土的铁板刻文及据以译出的现代纵横图代的一些著作中还介绍了在伊斯兰国家通行的“土盘算法”，“格子算”（又称“铺地锦”），球面三角法和角度的六十进制等。但总的来说，中世纪阿拉伯数学在中国的影响，远不如它对欧洲数学所产生的巨大影响。

　　在阿拉伯数学传入中国的同时，中国数学自然也会传入伊斯兰国家。十三世纪中叶，蒙古军队西进占领巴格达之后，旭烈兀汗建立了马拉盖（今属伊朗）天文台，并任命著名天文学家和数学家纳速拉丁·图西主持工作，编制了著名的《伊儿汗历表》。这个天文台拥有四名中国天文学家，据记载，“旭烈兀汗曾自中国携有中国天文学家数人至波斯，其中最著名者为Faomoun-dji 博士，即当时人称为先生（Singsing）者是已。纳速剌丁之能知中国纪元及其天文历数者，盖得之于是人也。”①这些人除天文历法外也必定熟悉中国数学，并且会把中国的数学知识传播给其他国家的数学家和天文学① 冯承钧译：《多桑蒙古史》下册，页91，中华书局1962 年版。

　　② 严敦杰：《欧几里得几何原本元代输入中国说》，载《东方杂志》39 卷13 号，1943 年。③ 王正书：《浦东陆家嘴出土元代珍贵玉挂》，载《文汇报》，1980 年12 月16 日。① 冯承钧译：《多桑蒙古史》下册，页91，中华书局1962 年版。关于Fao-moun- dji，冯承钧认为“后二字疑为蛮子之对音，其人或者姓包姓鲍”，也有人将其音译为傅穆斋。

　　家。此外，中国数学曾对于印度数学产生过重要影响。八世纪之后，印度数学知识不断传入各伊斯兰国家，印度数学家如婆罗摩笈多等的著作被译成了阿拉伯文。现在在流传至今的中亚数学家的一些数学著作中，仍然可以找到诸如与中国古代的十进位值制记数法、分数记法、四则运算、三率法、盈不足术、重差术、百鸡问题等极其相似的数学内容和算法，这些很可能是直接从中国或通过印度这两条途径传入伊斯兰国家的。在十五世纪，兀鲁伯修建了撒马尔罕天文台，著名数学家和天文学家阿尔·卡西是这个天文台的主持人。在阿尔·卡西的名著《算术之钥》（1247）中，有些数学内容如除法、开平方和开立方法、“契丹算法”、“百鸡问题”等都有吸收了中国古代数学成就的痕迹。尤其是高次开方法，开方不尽时命分的方法：a r ara an nn n + . ++ - ( ),1以及二项式定理系数表（贾宪三角）等等，更和宋元算书的内容完全相同①。而这些数学知识，在当时除了宋元算书外，还没有任何其他国家的数学著作提到过。因此有理由认为，与古希腊和印度数学一样，中国数学也曾给予阿拉伯数学以一定的影响。而阿拉伯数学在世界数学史上占有公认的重要地位，它对欧洲数学的发展起了巨大的推动作用。