天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现在代数学中列方程的方法基本一致，但写法不同。它首先要“立天元一为某某”，相当于“设x 为某某”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式。然后，通过类似合并同类项的过程，得出一个一端为零的方程。天元术的表示方法不完全一致，按照李冶的记法，方程a0xn+a1xn-1.+an-1x+an=0可写成如下形式：其中a0，a1，.，an 表示方程各项系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字（或在一次项旁边记一“元”字），“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂。方程列出后，再按增乘开方法求正实根。天元术的出现，提供了列方程的统一方法，其步骤要比阿拉伯数学家的代数学进步得多。而在欧洲，只是到了十六世纪才做到这一点。此外，宋代创立的增乘开方法又简化了求解数字高次方程正根的运算过程。因此，在这一时期，列方程和解方程都有了简单明确的方法和程式，中国古典代数学发展到了比较完备的阶段。不仅如此，继天元术之后，数学家又很快把这种方法推广到多元高次方程组，如李德载《两仪群英集臻》有天、地二元，刘大鉴《乾坤括囊》有天、地、人三元等，最后又由朱世杰创立了四元术。“四元术”是多元高次方程组的建立和求解方法。朱世杰在《四元玉鉴》中用天、地、人、物代表四个未知数，然后根据已知条件推导出四元（或者二元、三元）高次方程组。这个方程组的表示方法是将其各项系数摆成一个方阵，其中常数项右侧仍记一“太”字，四个未知数一次项的系数分置于常数项的上下左右，高次项系数则按幂次逐一向外扩展，各行列交叉处分别表示相应未知数各次幂的乘积。解这个用方阵表示的方程组时，要运用消元法，经过方程变换（实际上也就是矩阵变换），逐步化成一个一元高次方程，再用增乘开方法求出正根。在欧洲，直到十八世纪法国数学家贝佐（ é ）才对多元高次方程组的消元法作了系统的研究。另一方面，从E'.B zout从四元术的表示法来看，这种方阵形式不仅运算繁难，而且难以表示含有四个以上未知数的方程组，带有很大的局限性。因此，中国代数学在这一时期确实发展到了顶峰，如果要再前进一步，那就需要另辟蹊径，突破新的难关了。后来，清代的代数学的进展是通过汪莱、李锐等对于方程理论的深入研究和引进西方数学这两条途径来实现的。

　　第二节垛积术对于一般等差数列和等比数列，我国古代很早就有了初步的研究成果。

　　北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创“隙积术”，开始研究某种物品（如酒坛、圆球、棋子等）按一定规律堆积起来求其总数问题，即高阶等差级数求和问题，并推算出长方台垛公式。南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，丰富和发展了沈括的隙积术成果，提出了一些新的垛积公式。沈括、杨辉等所讨论的级数与一般等差级数不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差相等。对这类高阶等差级数的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”。朱世杰对于垛积术作了进一步的研究，并得到一系列重要的高阶等差级数求和公式，这是元代数学的又一项突出成就。例如，朱世杰在《四元玉鉴》中提出了著名的三角垛公式：11 2 11111 2pr r r r prnpn n n n p!( )( ) ( )( )!( )( ) ( )+ + + -=.=++ + +LL其中p=1，2，3，4.。在这一串三角垛公式中，后式恰好是把前式结果作为一般项的新级数的求和公式。又如岚峰形垛公式：11 2 11121 2 1 1pr r r r p rrnpn n n n p p n!( )( ) ( )( )!( )( ) ( )[( ) ]+ + + -=.=++ + + + +LL·也是很精彩有趣的。他还研究了更复杂的垛积公式及其在各种问题中的实际应用。总结和归纳出这些公式并不是一件轻而易举的事情，是有相当难度的。朱世杰究竟如何得到这些公式，由于史料缺载，至今尚不清楚。朱世杰《四元玉鉴》所载“古法开七乘方图”，比杨辉所引贾宪“开方作法本源图”（贾宪三角）多出了平行于两斜边的许多斜线，有些学者推测，从这些斜线相连的数字关系可以得出一些有意义的结论，其中包括推导出某些垛积公式①。① 杜石然：《朱世杰研究》，载《宋元数学史论文集》，科学出版社1966 年版。第三节招差术招差术即高次内插法，是现代计算数学中一种常用的插值方法。在中国古代天文学中早已应用了一次内插法，隋唐时期又创立了等间距和不等间距二次内插法，用以计算日月五星的视行度数。但是太阳等天体的视运动并不是时间的二次函数，因此仅用二次内插公式推算的结果仍不够精确。唐代天文学家一行已经注意到这个问题，并列出一个包括三差的表格。由于当时数学水平所限，一行还没有能够给出正确的三次差内插公式。元代天文学家和数学家王恂、郭守敬在所编制的《授时历》中，为精确推算日月五星运行的速度和位置，根据“平、定、立”三差，创用三次差内插公式，这在数学上是重要的创新，同时也把天文历法的计算工作推进了一大步。朱世杰对于这类插值问题作了更深入的研究。他在《四元玉鉴》中成功地把高阶等差级数方面的研究成果运用于内插法， 得到了一般的插值公式：f n n n n n n n ( )!( )!( )( ) , = + = + - - + △ △ △1 211 31 2 2 3 L并且明确指出公式中各项系数恰好是p=1，2，3，.时的三角垛求和公式。上述插值公式，在中国数学史上一般称为“招差术”，其用途并不仅仅限于内插法。招差术与垛积术是密切相关的，这两者可以互相推演。朱世杰掌握了三角垛公式，因而易于推导出一般的内插公式。相反地，利用招差术，也可解决高阶等差级数的求和问题。因此，朱世杰的垛积招差术，将宋元数学家在这方面的研究成果推进到了更加完善的地步。在欧洲，对招差术首先加以讨论的是英国数学家J.格雷戈里（J.Gregory，1670）。此后不久，牛顿得到了现在通称牛顿插值公式的一般结果。牛顿插值公式在现代数学和天文学计算中仍然起着重要的作用。朱世杰所发现的公式与牛顿插值公式在形式上和实质上都是完全一致的，而后者要晚三百多年。招差术的创立、发展和应用是中国数学史和天文学史上具有世界意义的重大成就。