清代关于无穷级数的研究是一个相当活跃的领域。明安图之后，董祐诚（1791—1823）在《割圆连比例图解》中又采用不同方法得到了关于弧、弦、矢三者关系的四个公式，简化了明安图的结果。项名达（1789—1850）在《象数一原》中，又把这四个公式简化成两个公式。项名达还和戴煦（1805—1860）共同发现了指数为有理数的二项式定理。在《外切密率》中，戴煦首先得到了正切、余切、正割、余割、反正切、反正割等三角函数和反三角函数的幂级数展开式。李善兰也进行了这方面的研究，但用的是他所发明的“尖锥术”。徐有壬（1800—1860）的《测圆密率》和《造表简法》，则对于清代数学家关于三角函数展开式的研究成果，作了较为全面的总结。此外，戴煦的《对数简法》和李善兰的《对数探源》，给出了自然对数的幂级数展开式。由此可见，清代数学家已经基本上解决了初等函数的幂级数展开式问题。虽然这些成果在时间上大多晚于西方数学家的同类成果，但这都是中国数学家刻苦钻研独立作出的贡献，并且其中用到的数学方法已经有了微积分思想的萌芽，从而为顺利接受解析几何和微积分学等近代数学知识，实现由传统数学向近代数学的演变，奠定了重要的思想基础。

　　这一时期关于椭圆的研究也有了新进展。项名达的《椭圆求周术》及戴煦为之补作的图解，提出了正确的椭圆周长公式：p a e e e = - - - - 2 11 21 32 41 3 52 4 6 2222 242 22 2 26 p ( )· ·· ·· ·. ，其中为椭圆离心率， ， 、分别为椭圆长、短半轴，其所用e e = a b 2 a ba2 22-方法符合椭圆积分法则。并据此推导出圆周率倒数公式：1 121121 32 41 3 52 4 6 222 22 22 2 2 p= - - - - ( )· ·· ·· ·. ．项、戴的这项工作是中国数学家关于二次曲线研究的最早的重要成果。

　　第七节李善兰的数学工作李善兰（1811—1882），字壬叔，号秋纫，浙江海宁人，晚清时期的著名数学家、天文学家、翻译家和教育家，我国近代科学的先驱者。自幼爱好数学，青少年时代自学和研读了许多中西数学和天文学典籍。三十岁以后，已有很高的数学造诣，并陆续发表了一些数学和天文学方面的重要研究成果。1852 年，李善兰到上海墨海书馆，与英国汉学家、传教士伟烈亚力（A.Wylie，1815—1887）等人合作，翻译出版了《几何原本》后9 卷，以及《代数学》、《代微积拾级》、《谈天》、《重学》、《植物学》等西方近代科学著作，其中《代微积拾级》是第一部译成中文的解析几何和微积分学著作，为近代科学在我国的引进与传播作出了杰出的贡献。1860 年后，他先后做过江苏巡抚徐有壬以及曾国藩的幕僚，但主要是从事科学研究工作。1868年开始担任北京同文馆算学总教习，直至1882 年辞世。李善兰的学术专著是《则古昔斋算学》（1867 年）13 种24 卷，包括《方圆阐幽》1 卷，《弧矢启秘》2 卷，《对数探源》2 卷，《垛积比类》4 卷，《四元解》2 卷，《麟德术解》3 卷，《椭圆正术解》2 卷，《椭圆新术》1 卷，《椭圆拾遗》3 卷，《火器真诀》1 卷，《对数尖锥变法释》1 卷，《级数回求》1 卷，《天算或问》1 卷，其中记载了他在传统数学领域的主要成就。例如，“尖锥求积术”是李善兰创造的一种独特的数学方法。在《方圆阐幽》中，李善兰首先列出十条预备定理作为推算的基本依据，并且以求圆的面积为例，说明尖锥术的具体应用。这些预备定理的基本思想是：当n≥2 时，Xn 可以用一个平面图形的面积或一条线段的长度来表示。如其第八条命题说明，高为底面积为的尖锥体体积等于，这相当于定积分h ahah nn +1n +1ax dxahnnnoh=++ò1 1．他利用尖锥术得到了圆面积展开式，三角函数和反三角函数展开式以及自然对数展开式等许多很有意义的结果①。李善兰在《垛积比类》中，深入和全面地研究了三角垛、乘方垛、三角自乘垛、三角变垛等求和问题，发现了多种类型的代数恒等式，其中尤其著名的是三角自乘垛求和公式：（ ） （ ） （ ）， r pppjn p jp rnjp+ - = + -+ = =. . 1 22 12120式中。这一公式现在通称“李善兰恒等式”，章用、华( )!!( ) m m m1 11=-罗庚、图兰·帕尔（匈牙利）等现代数学家都对它进行了新的探讨。李善兰对于数论问题也曾作了不少研究。他在《考数根法》中，独立证明了费马定理，即如果ap-1 能被N 整除，且N 为素数，那末N-1 必能被P 整除。但N-1能被P 整除，仅是N 为素数的必要条件而不是充分条件。他指出了这个定理的逆定理不成立，并给出另外几个有关素数的判定方法。

　　① 李善兰：《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》，均见《则古昔斋算学》。第八节其他方面的成就在中国古代传统数学中，关于有限项级数的求和问题，是一个相当有成绩的领域。如宋元时代的垛积招差术，提出了许多种高阶等差级数的求和公式。在清代，又有不少人继续从事这方面的工作。如康熙时的数学家陈世仁（1676—1722）撰《少广拾遗》，专门讨论垛积术，得到：1 + 3 +5 + + (2n 1) =1 3n(4n 1)1 + 3 +5 + + (2n 1) = n (2n 1)2 2 2 2 23 3 3 3 2 2. ，. ，- -- -等一系列新成果。