这一时期还有一部重要作品，就是阮元主编，李锐和周治平协助编撰的《畴人传》46 卷（1799 年）。在封建史家编撰的正史中，极少为科学家或技术专家专门立传。《畴人传》则完全是数学家和天文学家的传记，着重表彰他们卓越的科学成就，这在中国历史上是一件创举。全书收集历代数学家和天文学家二百四十三人，而把西方人士三十七人作为附录，记载了他们的生平事迹和科学成就。在有些人的传记之后，还有简短的评论。《畴人传》对于研究中国古代数学和天文学是很有参考价值的资料，其中对一些数学家和天文学家的评价也相当精辟。但书中也有不少内容反映了阮元的封建保守的陈腐观点。《畴人传》编成之后，又有一些人继续这项工作。罗士琳撰《畴人传续编》6 卷（1840 年），论述当时学者的生平和成就，内容比较翔实。华世芳撰《近代畴人著述记》（1884 年），所记很简略。诸可宝撰《畴人传三编》7 卷（1886 年），所收史料和当时社会上的评价也比较可靠。黄钟骏撰《畴人传四编》11 卷和附卷1 卷（1898 年），虽然所收人数较多，但很多人并非是数学家或天文学家，有些著作也早已失传，内容无从查考，因此《四编》的质量远不如前几编。

　　第五节方程论对方程论中高次方程实根个数判定问题的研究，是乾隆嘉庆时期中国数学家的重要成果之一。宋元时代数学家贾宪、秦九韶等，创造和发展了“增乘开方法”，解决了高次方程正实根的求解问题，但是对于该方程是否还有其他的根，方程根与系数之间的关系，则没有进行过探讨。清代数学家李锐、汪莱、焦循经常通信或在一起讨论数学和天文学问题，当时被誉为“谈天三友”。汪莱（1768—1813），字孝婴，号衡斋，安徽歙县人，著作有《衡斋遗书》9 卷和《衡斋算学》7 册。首先提出一个方程可能存在不只一个正根，并通过与李锐的讨论，提出一套“审有无”（即判别方程是否存在正根）的方法。他的结论包括：对于二次方程x2-px+q=0，当≤ 时，方程有正根； ＞ 时，无正根。对于三次方程q (p 2) q (p 2) x - px + q 2 2 3= 0 qp 2p，当≤ · 时，方程有正根，否则无正根。这两个结果与现在3 3判定二次方程与三次方程存在正实根的判别式p2-4q≥0 与4p3-27q≥0 是一致的。汪莱研究了xn-pxm+q=0 类型的高次方程有无正实根的判定方法，上述两种判别式是这种判定方法的特例①。李锐（1769—1817），字尚之，号四香，江苏元和（今苏州市）人，著作有《李氏算学遗书》等。他在与汪莱讨论过程中，进一步发展了汪莱的成果，总结出下列几条规律：设有方程a0xn+a1xn-1+..+an-1x+an=0，则1.方程系数有一次变号时，此方程有一个正根；2.方程系数有二次变号时，此方程可有两个正根；3.方程系数有三次变号时，此方程有三个或一个正根；4.方程系数有四次变号时，此方程可有四个或两个正根。其中2，4这两种情形，方程可能不存在正根，但在李锐《开方说》中不予讨论②。这些结论与现在所谓“笛卡儿符号法则”是一致的。此外，李锐还首次提出了方程的重根问题。他还指出：方程“不可开，是为无数。凡无数必两，无无一数者”①。当时虽然还没有虚根的概念，但他的这一结论为高次方程可能存在虚根（或复数根）和虚根成对的情况，以及方程根的个数问题等代数学基本问题，提供了进一步研究的广阔余地。李锐和汪莱关于高次方程实根个数判定问题的研究成果，虽然在时间上晚于西方，但他们突破了宋元数学的原有范围，开辟了方程理论研究的新方向，特别是他们在中国数学史上最早开创了带有纯理论性质的研究课题，并独立取得了一定的成就，这无疑应该给以充分的肯定。

　　① 汪莱：《衡斋算学》第5 册，第7 册。

　　② 李锐：《开方说》，见《李氏算学遗书》。

　　① 李锐·《开方说》，见《李氏算学遗书》。

　　第六节初等函数的幂级数展开式明末《崇祯历书》中已经介绍了三角函数表的编造方法，即所谓六宗、三要和二简法。这种造表法利用普通三角函数关系公式推算，相当繁琐，并且也不能算出任意角的三角函数值。此后陆续有人研究这一问题，但未取得重大突破。清初康熙年间，法国传教士杜德美（P.Jartoux，1668—1720）曾介绍三个无穷级数公式，当时称之为“圆径求周”、“弧背求正弦”和“弧背求正矢”，相当于圆周率π的展开式以及正弦和正矢的幂级数展开式：p = + + + +ìí.üyt3 114 31 34 51 3 54 72 2 222 2 23 . ! ! !· ·· ··. ，sin! ! !! !x x x x xversx x x x= - + - += - + -1 31 51 71 21 416!3 5 72 4 6.，.．梅瑴成将其记载在《梅氏丛书辑要》的附录《赤水遗珍》中。这些公式提供了计算任意角度三角函数值的简捷算法，受到当时数学家的欢迎。但由于杜德美没有给出这三个公式的证明，因而造成了理解上的困难。首先对此进行深入研究的是蒙古族数学家和天文学家明安图。明安图，字静庵，蒙古族正白旗人，生年不详，约卒于1763 年。毕生在钦天监从事天文工作，曾任时宪科五官正，晚年升任钦天监监正。他经过30 余年的不懈努力，把中国古代数学与引进的西方数学结合起来，创造了割圆连比例法和级数回求法，终于圆满地证明了上述三个公式，并且推导出另外六个公式，其中较重要的有反正弦和反正矢的幂级数展开式：arcsin! ! !x x x x = + + + + 11 31 351 3 5732 252 2 27 · · ·.，( )! !arc versxx x x x22121 41 26!1 2 38!2222 232 2 24 = + + + +ìí.üyt· · ·. ．明安图的数学专著是《割圆密率捷法》4 卷。这部书在他生前未能完成，后由其学生和儿子续成出版（1774 年）。此外，他还曾参加编著《历象考成》、《历象考成后编》和《仪象考成》等重要天文学著作，并曾两次亲赴新疆地区测绘地图，在天文学和地图测绘学等方面作出了杰出的贡献。