4.发明弧矢割圆术天文学上有所谓黄道坐标，赤道坐标、白道坐标等等的球面坐标系统。现代天文学家运用球面三角学可以很容易地将一个坐标系统中的数据换算到另一个系统中去。中国古代没有球面三角学，古人是采用近似的代数计算方法来解决问题的。《授时历》采用的弧矢割圆术，将各种球面上的弧段投射到某个平面上，利用传统的勾股公式，求解这些投影线段之间的关系。再利用宋代沈括发明的会圆术公式，由线段反求出弧段长股关系的方法是完全准确的。它们与现今的球面三角学公式在本质上是一致的② 王恂卒于至元十八年。许衡于至元十七年告病辞归，次年卒。杨恭懿至元十八年辞归后即不再返回朝廷。张文谦于至元十九年拜枢密副使，次年病故。张易于至元十九年受他人案件的株连而被处死，等等。①。

　　以上这些计算方法上的成就，主要应当归功于王恂，但是，其他学者也为此付出了劳动。特别由于郭守敬是《授时历》的最后整理定稿者，使这些突出的天文学、数学成就得彰后世，故其功不可没。

　　水利工程上的成就郭守敬生平的第二项事业是水利。其中最主要的有二项工程：修复西夏水利和开凿通惠河。

　　1.修复西夏水利所谓西夏水利，是指西夏国首都兴庆府（今宁夏回族自治区首府银川市）一带黄河两岸的水利设施。

　　这一带早在秦汉时起就陆续开凿了许多河渠，引黄河水灌溉，由此构成一张水渠网，成为西北地区重要的粮仓。但在元朝开国前，历年征战，严重毁坏了原有水利设施，使此地九万多顷良田荒芜，人民常年处于饥饿之中。郭守敬的有关修复水利工作，主要据齐履谦的记述①。

　　郭守敬对原有的十二条正渠，六十八条大小支渠“因旧谋新，更立牐堰。役不逾时，而渠皆通利”。整修原有的渠道，使之焕然一新，原有已损毁的牐堰也修补更新。总之，这项工程大抵是因旧整修，即令有新渠开挖、新牐堰的建立，也不会很多。所以全部工程才能“役不逾时”，干了不到一个季度，“渠皆通利”。当然，这也是因为涉及千百万人的生计大事，上、下均望其速成。投入和工效一定都是极高的。此事的成功对郭守敬来说，在于他有组织大型工程的才能，干的是造福人民的大好事，因而人民才会在渠上给他立生祠。

　　2.通惠河的开挖元世祖把首都定在大都（今北京）。为了供养大都臣民的生活，保证帝王、贵族们的享用，许多物资都要从南方运来，其中粮食每年需要从南方征运数百万斤之巨。在金代，就利用华北平原上的天然水道，与自隋唐以来陆续开挖修建的南方运河相连网，建立了一个水上运输系统，从南方往金朝中都（今北京）运送粮食。由于自然条件的限制，这个系统的终点不是在大都，而是在京东的通州。通州距离金中都和后来的元大都还有好几十里路。这一段路程就只能依靠陆运。而陆路运输的成本很高，并且一到雨季，道路泥泞难行，牲口倒毙，粮车陷在泥中，运输效率极低。因此，自金朝起，人们就力图开凿一条从通州直达京城的运河，以解决运粮问题。

　　通州地势低于大都。开运河，只能从大都引水流往通州，沿途筑一系列牐坝，使南来的船逐级上驶。这样，就必须在大都城周围寻找水源以保证运河的水量。大都城郊有西北方的高粱河，西南方的凉水河，其水量都很小，不敷运河的用水。大都城北几十里处，有清河和沙河，虽有一定水量，却因地形自然流向东南，成为通向通州的温榆河的上游。大都城西几十里的浑河（今称永定河），水量在当时是相当大的。金朝时曾从京西石景山北面的西① 钱宝琮：《授时历法略论》，文中专有一节讨论弧矢割圆法，见《天文学报》四卷二期，1956 年12 月；收入《钱宝琮科学史论文选集》，科学出版社1983 年版。

　　① 齐履谦：《知太史院事郭公行状》，《元文类》卷五○。

　　麻峪村开了一条运河，经过中都注入通州城东的白河。但因浑河中泥沙极多，运河很快淤积；加之夏、秋洪水季节，浑河水极其汹涌，极易泛滥，对运河两岸造成威胁。所以，开凿了十五年之后又复把运河上游的口子填塞了。这个使命最终落到了郭守敬的身上。而郭守敬也不是一举成功的。

　　由于金朝开挖的运河，正流经大都城墙的南面。以下往东到通州的一段完全可以利用，因此所需解决的只是上游的水源。

　　早在元世祖中统三年（1262）郭守敬初见忽必烈时所提的六项水利工程计划中，第一项提的就是此事。他计划把清河的上源中，从玉泉山涌出后东流，经瓮山（今万寿山）南面的瓮山泊（今昆明湖的前身）再向东的那一支流改道向南，注入高粱河，再进入运河。这项计划曾经实施。但因只是一泉之水，只能用于增加大都城内湖池宫苑的用水量，对航运则无裨益。

　　三年以后，他从西夏回来，又提出了修运河的第二个方案。这个方案是利用金人所开浑河的口子，只是另在金人运河的上游开一道分水河，引回浑河。当河水暴涨，危及下游时，就开放分水河闸口，解除对大都城的威胁。同时考虑到浑河水携来的泥沙问题，他撤去了运河上的闸坝，以使泥沙自然运走。这种设想固然有其道理，但大都到通州运河段的水位下降梯度，虽比大都以上的运河段梯度较小，却仍然是相当大的，没有闸坝控制，巨大的粮船就无法逆流而上。因此，这个方案在至元十三年（1276）实施完成以后，只对运河两岸的农田灌溉及放送西山砍伐木料的作业有所帮助。